Введение в математический анализ.

Производнаяи ее приложения.

6.2.31–6.2.40.Отыскать пределы функций, не пользуясь правилом

Лопиталя.


6.2.31.а)


lim


3 x; б)


lim


arctg3x;


x®0


x+3-

4


3-x


x®0


sin5x

æö2x+1


в)lim


3x +5


; г)


lim


3-2x

.
ç÷


x®¥(2x2 -1)2


x®¥è5-2xø


6.2.32.а)


lim

x® 4


x+12- 4; б)

x-2


lim

x®0


tg4x ;

x+1-1

2+x


2 3æö


в)lim


(2x+1) + 3x ; г)


lim


5- 2x

x
ç÷.


x®¥


x3 -(2x-1)2

2


x®0è5+3xø


6.2.33.а)


lim


x Введение в математический анализ. - 25; б)


lim


tgx ;


x®5


x-5

6


x®0sin22x

æöx+3


в)lim


2x -7


; г)


lim


3x+1

.
ç÷


x®¥(x3 -3)(2-x3)

3


x®¥è3x-2ø


6.2.34.а)


lim

x®-1


x- 7+ 2; б)

x+1


lim

x®1


sin(x-1);

x2 -1


1

3 æö


в)lim


(3x- 2) ; г)


lim


-

2xx
ç÷.


x®¥(x2 +1)(2-x)


x®0


è2+xø


6.2.35.а)


lim


x - 4; б)


lim


arcsinx ;


x® 2


x+14-2


x+2

2


x Введение в математический анализ.®0


3+x-


x2-1


в)lim


(x- 3)(2- x );г)


lim


æ2x +1ö

÷.


x®¥


(x-1)3


ç

x®¥è2x2 +3ø


3 3


6.2.36.а)


lim


1+ x- 1- x;б)


lim


tg2x ;


x®0 x


x®05x2 -9x


4 æö


x+1


в)lim


5x - 6x+ 7; г)


lim


2x+1

x
.
ç÷


x®¥


(x2 -3)2


x®0è


x+1ø

2


6.2.37.а)


lim


1+ 2x- 1- 3x; б)


lim


sin x ;


x®0 5x


x®0arcsin3x


x2+5


в)lim


1- 2x- x Введение в математический анализ.;г)


lim


æ3x+ 2ö

÷


x®¥(2+x)2 -3x3


ç

x®¥è3x2


.

-1ø



6.2.38.а)


lim


x+ 3 ; б)


lim


4- x- 2;


x®-35


1-x-2


4-7x


x®0


arcsin2x

1


ç÷.
2 3æö


в)lim


7+ x+ x- 2x; г)


lim


x+ 2x


x®¥


(1-x)3


x®0è3x+2ø



6.2.39.а)


lim

x®0


1+ 2x- 1- 3x; б)

3x

2 2


lim

x®p


tg2x;

sin3x

æöx+2


в)lim


(x-3)


+5; г)


lim


7x+1

.
ç÷


x®¥(1-2x2)2 +7


x®¥è7x-1ø



6.2.40.а Введение в математический анализ.)


lim

x®0


x+ x; б)

x+1-1


lim

x®0


arcsin2x;

x+1-1

7


5 æö


в)lim


4+ x- x; г)


lim


+

7xx
ç÷.


x®¥2+x2 -3x5


x®0


è7-xø


6.3.11–6.3.20.Заданафункция у=f(х).Отыскать точкиразрывафункции,

еслионисуществуют. Сделатьсхематическийчертеж.


6.3.11.

6.3.12.


ìx+4,

í
f(x)=ïx2+2,

î
ï2x,

ìx+2,

í
f(x)=ïx2+1,

î
ï-x+3,


x<-1;

-1£x<1;

x³1.

x£-1;

-1

x>1.


ì-x,

ï


x£0;


6.3.13.


f(x)=í-(x Введение в математический анализ.-1)2,

î
ïx-3,


0

x³2.



6.3.14.


ìcosx,

í
f(x)=ïx2+1,

î
ïx,

ì-x,

ï


x£0;

0

x³1.

x£0;


6.3.15.

6.3.16.


f(x)=íx2,

î
ïx+1,

ì-x,

ís
f(x) =ïinx,

ï
îx-2,


0

x>2.

x£0;

0

x>p.



6.3.17.


ì-(x+1),

í(
î
f(x)=ïx+1)2,


x£-1;

-1

6.3.18.

6.3.19.


ïx,

ì-x2,

í
f(x)=ïtgx,

î
ï2,

ì-2x,

í
f(x)=ïx2+1,

î
ï2,

ì-2x,

ï


x>0.

x£0;

0

x>p/4.

x£0;

0

x>1.

x£0;


6.3.20.


f(x)=íx,

î
ï1,


0

x³4.



7.1.1–7.1.10.Найтипроизводные


dyданныхфункций.

dx


7.1.1.a)

в)


y=arccos

x=2t2+t,


x ;

y=lnt.


б) y=lnctgx;



7.1.2.a)


y=x


25-x2 +25arccosx; б)


y=exp(ctg2x);


в)x=


1-t;

1+t2


2 5

2+t2

y=.

t2


7.1.3. а)


y=1ln


x-3;

x+3


б) y = arcctg Введение в математический анализ.[exp(5x)];


в) x =sin23t,y =cos23t.


7.1.4.a)


y=ln(x+


x2 +1);б)


y=1- cos3x;

1+cos3x


в) x =t4+ 2t,y =t2+5t.

2


7.1.5.a)


y=x+1+arccos1 ; б)


y=(x-1)exp(x2);


x x2

в) x =t– lnsint,y =t+ lncost.

12


7.1.6. a)


y=ctg


x+ lnsinx;

1


б Введение в математический анализ.)y =exp(cos3x).


в) x =tgt,


y=. sin2t


7.1.7. a)


y=ln(x-


x-2)+


x2 -2x;


б) y =3x exp(-x-2) ;


в) x =t2–t3,y =2t3.

7.1.8.a) y = lncos2x–lnsin2x; б)

в) x =cos3t,y= sin3t.

x-1


y=2ctg


3x;


7.1.9. a)


y=arccos


;б)

x Введение в математический анализ.+1


y=lnctg


x+2 ;


в) x =3sint,y =3cos2t.


tg3x


ctg2x


æ1ö


7.1.10.a) y=-


+lnsinx; б)


y=x


expç÷;


3 2 èxø

в) x =2t–t2,y= 2t3.

7.2.51–7.2.60.Подобрать подобающую функцию и отыскать ее экстремум.


7.2.51.Требуетсяизготовитьизжестиведроцилиндрическойформы без крышкиданногообъемаV.Каковыдолжны бытьвысота ирадиусегодна, чтобына егоизготовление ушлонаименьшее количество жести?

7.2.52.Равнобедренныйтреугольник,вписанныйвокружностьрадиуса R, крутится вокруг прямой, которая проходит через Введение в математический анализ. его верхушку параллельно основанию.Какова должна бытьвысотаэтоготреугольника, чтоб тело, приобретенное в итоге его вращения, имело больший

объем?

7.2.53.Прямоугольниквписанвэллипссосями2aи2b.Каковы должны бытьстороныпрямоугольника, чтобыегоплощадь была большей?

7.2.54.Отыскать радиусоснования ивысотуцилиндра наибольшегообъема, которыйможновписать вшар радиусаR?

7.2.55.Найтирадиусоснованияивысотуконусанаименьшегообъема,

описанногооколошарарадиусаR?

7.2.56. Прикакихлинейных размерахзакрытая цилиндрическая банка даннойвместимостиVбудет иметьнаименьшую полную поверхность?

7.2.57.Окноимеетформу прямоугольника,завершенногополукругом. Периметр окна равенa.При каких размерахсторонпрямоугольникаокно Введение в математический анализ. будет пропускатьнаибольшее количествосвета?

7.2.58.ВточкахAиB,расстояниемеждукоторымиравноa,находятся

источникисветасоответственноссилами F1 иF2 .НаотрезкеABнайти менее освещенную точкуM0.

Замечание.Освещенность точки источникомсветасилойFобратно пропорциональна квадрату расстояния rее от источника света:

E=kF/r2,k=const.

7.2.59. Из круглого бревна, поперечник которого равен d, требуется вырезатьбалку прямоугольногопоперечногосечения.Каковыдолжныбыть ширинаивысотаэтогосечения,чтоб балканаибольшеесопротивлениена извив?

Замечание.Сопротивление балки на извив Введение в математический анализ. пропорционально произведениюшириныxеепоперечногосечениянаквадратеговысотыy:

Q=kxy2,k=const.

7.2.60. Требуетсяизготовить открытый цилиндрическийбак данногообъемаV.Стоимостьквадратногометра материала, идущегонаизготовление днабака,равнаp1руб.,астенок–p2руб.Каковыдолжныбыть радиусдна и высота бака, чтобызатратынаматериалдляего производства были меньшими?

7.3.21–7.3.30.Методамидифференциальногоисчисления:а)изучить


функциюy=f(x)для


"xÎR


ипорезультатамисследованияпостроитьее


график;б)Найтинаименьшееинаибольшеезначениязаданнойфункциина отрезке[a;b].


7.3.21. а)


y=4x,

4+x2


б) [–3;3].



7.3.22. а)


x Введение в математический анализ.2 -1

y=,

x2 +1


б) [–1;1].



x

7.3.23. а) y=,


б) [–2;2].


7.3.24. а)


x2 +1

x2 -5

y=,


б) [–2;2].


x-3


7.3.25. а)


2-4x2

y=1-4x2 ,


б) [ 1;4].



7.3.26. а)


y=(x-1)e3x+1,


б) [ 0;1].



7.3.27. а)


y=lnx,

x

1


б) [ 1;9].


7.3.28. а)


y=e2-x,


б) [–1;1].



7.3.29. а)


y=xe


-x2,


б) [–2;2].



y
7.3.30. а)


x2-3

=

,
2


б) [–2;2].


x+9

КОНТРОЛЬНАЯРАБОТА№ 3


vvedenie-uchebnoe-posobie-dlya-vrachej-ciklov-povisheniya-kvalifikacii-i-professionalnoj.html
vvedenie-utverzhdayu.html
vvedenie-v-anatomiyu-i-fiziologiyu-cheloveka.html